Смотреть больше слов в «Русско-казахском терминологическом словаре "Философия и политология"»
КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕ́МЫ АКСИО́М свойство, выражающее содержат. полноту системы аксиом. Система аксиом наз. категоричной, если она однозначно определ... смотреть
свойство, выражающее содержат. полноту системы аксиом. Система аксиом наз. категоричной, если она однозначно определяет только одну систему предметов с точностью до изоморфизма, т.е. если все интерпретации, или модели, этой системы изоморфны друг другу. Поскольку понятие изоморфизма интерпретаций допускает разные, не эквивалентные друг другу определения, постольку возможны и разные виды категоричности. В случае существования неизоморфных интерпретаций система аксиом наз. некатегоричной, или содержательно неполной. Понятие категоричности – одно из основных понятий метода аксиоматического. Оно имеет исключительно семантич. смысл, т.к. характеризует интерпретации (модели) той или иной аксиоматич. системы. Первоначально возникло в геометрии при решении задач ее обоснования. Фундаментальным здесь явился результат Дж. Гильберта, впервые сформулировавшего содержательно полную аксиоматику евклидовой геометрии. В содержательно строящейся (неформальной) математике известен ряд категоричных систем аксиом, определяющих с точностью до нек-рого изоморфизма системы: натуральных чисел (аксиоматика Дедекинда – Пеано), действит. чисел, (напр., гильбертова аксиоматика числа) и др. В определении категоричности слово "все" относится к произвольным моделям данной системы аксиом. Поскольку, однако, в большинстве случаев нельзя обозреть "все" произвольные модели, определение категоричности оказывается неконструктивным. При рассмотрении формальных систем аксиом возникают трудности, связанные с определением понятия К. с. а. Из теоремы Геделя о неполноте вытекает, что обычная ф о р м а л ь н а я арифметика является неполной, т.е. допускает т. н. нестандартные модели, содержащие, помимо обычных натуральных чисел, еще какие-то дополнит. объекты. Естественно возникает вопрос о том, нельзя ли так уточнить понятие К. с. а., чтобы нестандартные модели были исключены. Одно из таких уточнений принадлежит англ. логику Крейселу, к-рый ввел понятие "рекурсивной модели" и показал, что примитивно-рекурсивная арифметика категорична относительно рекурсивных моделей, т. е., что не существует рекурсивных нестандартных моделей. Другое уточнение понятия категоричности принадлежит польскому логику Лосю, к-рый ввел понятие категоричности в данной мощности. Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Ladri?re J., Les limitations internes des formalismes, Louvain – P., 1957; Kreisel G., Mathematical significance of consistency proofs, "J. Symbolic logic", 1958, v. 23, No 2; Lo? J., On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems, "Colloquium math.", 1954, v. 3, fasc. 1 (реферат этой статьи см. вреферативном ж. "Математика", 1955, No 4, [реф. ] 1607). А. Субботин. Москва. ... смотреть